Решите систему уравнений [3x²+2y²=45, 9х2+6y2 = 45х.

Решим систему уравнений методом подстановки.

Шаг 1: Выразим 3x² из первого уравнения:

\[3x^2 = 45 - 2y^2\]

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:

\[3(3x^2) + 6y^2 = 45x\] \[3(45 - 2y^2) + 6y^2 = 45x\] \[135 - 6y^2 + 6y^2 = 45x\] \[135 = 45x\]

Шаг 3: Найдем x:

\[x = \frac{135}{45} = 3\]

Шаг 4: Подставим значение x в первое уравнение:

\[3(3)^2 + 2y^2 = 45\] \[27 + 2y^2 = 45\] \[2y^2 = 18\] \[y^2 = 9\] \[y = \pm 3\]

Шаг 5: Рассмотрим случай, когда x = 0:

Подставим x = 0 в первое уравнение:

\[3(0)^2 + 2y^2 = 45\] \[2y^2 = 45\] \[y^2 = \frac{45}{2}\] \[y = \pm \sqrt{\frac{45}{2}}\]

Подставим x = 0 во второе уравнение:

\[9(0)^2 + 6y^2 = 45(0)\] \[6y^2 = 0\] \[y = 0\]

Однако, если x = 0, то из первого уравнения следует 2y² = 45, то есть y² = 22.5, а из второго уравнения 6y² = 0, то есть y = 0. Это противоречие, поэтому надо искать другое решение.

Рассмотрим случай, когда y = 0:

Подставим y = 0 в первое уравнение:

\[3x^2 + 2(0)^2 = 45\] \[3x^2 = 45\] \[x^2 = 15\] \[x = \pm \sqrt{15}\]

Подставим y = 0 во второе уравнение:

\[9x^2 + 6(0)^2 = 45x\] \[9x^2 = 45x\] \[9x^2 - 45x = 0\] \[9x(x - 5) = 0\]

Отсюда x = 0 или x = 5.

Если x = 0, то это случай, который мы уже рассмотрели и отвергли.

Если x = 5, то:

Подставим x = 5 и y = 0 в оба уравнения:

Первое уравнение: 3(5)² + 2(0)² = 3(25) = 75 ≠ 45. Это не подходит.

Однако, если вернуться к уравнению 9x² = 45x, то мы можем разделить обе части на 9x (если x ≠ 0):

\[x = 5\]

Подставим x = 5 в первое уравнение:

\[3(5)^2 + 2y^2 = 45\] \[75 + 2y^2 = 45\] \[2y^2 = -30\]

Это не имеет решения, так как y² не может быть отрицательным.

Давайте вернемся к уравнению 9x² - 45x = 0, которое мы получили из второго уравнения, и решим его как квадратное уравнение:

\[9x(x - 5) = 0\]

Отсюда x = 0 или x = 5.

Если x = 0, то из первого уравнения 2y² = 45, и y = ±√(45/2).

Если x = 5, то из первого уравнения 3(5)² + 2y² = 45, то есть 75 + 2y² = 45, и 2y² = -30, что не имеет действительных решений.

Но если вернуться к первоначальной системе и попробовать другой подход:

Умножим первое уравнение на 3:

\[9x^2 + 6y^2 = 135\]

Теперь у нас есть:

\[9x^2 + 6y^2 = 135\] \[9x^2 + 6y^2 = 45x\]

Таким образом:

\[135 = 45x\] \[x = 3\]

Подставим x = 3 в первое уравнение:

\[3(3)^2 + 2y^2 = 45\] \[27 + 2y^2 = 45\] \[2y^2 = 18\] \[y^2 = 9\] \[y = \pm 3\]

Таким образом, у нас есть решения (3, 3) и (3, -3).

Также, если x = 5 и y = 0, то первое уравнение не удовлетворяется.

Однако, если x = 5, то из уравнения 9x² = 45x следует, что 9(5)² = 45(5), то есть 225 = 225, что верно.

Но если x = 5, то из уравнения 3x² + 2y² = 45 следует, что 3(5)² + 2y² = 45, то есть 75 + 2y² = 45, и 2y² = -30, что не имеет действительных решений.

Так что остается только случай, когда x = 0 и y = 0.

Если x = 5 и y = 0, то 3(5)² + 2(0)² = 75 ≠ 45, и 9(5)² = 45(5), то есть 225 = 225. Это противоречие.

Таким образом, мы имеем решения (5,0), (3, 3), (3, -3)