Решите систему уравнений \[\begin{cases}x^2 + y^2 = 68, \\ xy = -16.\end{cases}\]

1. Выразим переменную из второго уравнения:

\[xy = -16 \Rightarrow y = -\frac{16}{x}.\]

2. Подставим выражение для \(y\) в первое уравнение:

\[x^2 + \left(-\frac{16}{x}\right)^2 = 68.\]

\[x^2 + \frac{256}{x^2} = 68.\]

\[x^4 + 256 = 68x^2.\]

\[x^4 - 68x^2 + 256 = 0.\]

3. Решим биквадратное уравнение, введя замену \(t = x^2\):

\[t^2 - 68t + 256 = 0.\]

Найдем дискриминант: \[D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600.\]

Найдем корни: \[t_1 = \frac{68 + \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64,\] \[t_2 = \frac{68 - \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 - 60}{2} = \frac{8}{2} = 4.\]

4. Вернемся к замене и найдем \(x\):

\[x^2 = 64 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = -8,\] \[x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2.\]

5. Найдем соответствующие значения \(y\):

\[y_1 = -\frac{16}{8} = -2,\] \[y_2 = -\frac{16}{-8} = 2,\] \[y_3 = -\frac{16}{2} = -8,\] \[y_4 = -\frac{16}{-2} = 8.\]