В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и CF. Докажите, что углы CFН и САН равны.

Разбираемся:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники AHB и CFB (так как AH и CF - высоты).
2. Угол B - общий для обоих треугольников.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Следовательно:
   • ∠BAH = 90° - ∠B
   • ∠BCF = 90° - ∠B
4. Таким образом, ∠BAH = ∠BCF.
5. Теперь рассмотрим четырехугольник HFCA.
6. Так как ∠HFC = ∠HAC = 90°, то вокруг четырехугольника HFCA можно описать окружность (сумма противоположных углов равна 180°).
7. Углы CFH и CAH опираются на одну и ту же дугу CH, следовательно, они равны.
8. Таким образом, ∠CFH = ∠CAH.