Решите систему уравнений \[\begin{cases}x^2+y^2=68, \\ xy = -16.\end{cases}\]

Разбираемся:

1. Выразим y через x из второго уравнения:

\[y = -\frac{16}{x}\]

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

\[x^2 + \left(-\frac{16}{x}\right)^2 = 68\] \[x^2 + \frac{256}{x^2} = 68\]

3. Умножим обе части уравнения на x², чтобы избавиться от знаменателя:

\[x^4 + 256 = 68x^2\] \[x^4 - 68x^2 + 256 = 0\]

4. Сделаем замену переменной: t = x², тогда уравнение примет вид:

\[t^2 - 68t + 256 = 0\]

5. Решим квадратное уравнение относительно t.

Показать решение квадратного уравнения

Дискриминант: \[D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600\] Корни: \[t_1 = \frac{68 + \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64\] \[t_2 = \frac{68 - \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 - 60}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

6. Вернемся к переменной x:

Если t₁ = 64, то x² = 64, следовательно, x₁ = 8 или x₂ = -8. Если t₂ = 4, то x² = 4, следовательно, x₃ = 2 или x₄ = -2.

7. Найдем соответствующие значения y:

Если x₁ = 8, то y₁ = -16 / 8 = -2. Если x₂ = -8, то y₂ = -16 / (-8) = 2. Если x₃ = 2, то y₃ = -16 / 2 = -8. Если x₄ = -2, то y₄ = -16 / (-2) = 8.