1. Решите систему уравнений: а) {x + y = 2, x² + 4y = 8; б) {x - y = 4, x² + xy = 6;

Ответ: a) x = 2, y = 0; x = -4, y = 6; б) x = 3, y = -1; x = -2, y = -6

a) Решение системы уравнений

• Шаг 1: Выразим y через x из первого уравнения:

\[y = 2 - x\]

• Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x^2 + 4(2 - x) = 8\]

• Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 + 8 - 4x = 8\]

\[x^2 - 4x = 0\]

• Шаг 4: Вынесем x за скобки:

\[x(x - 4) = 0\]

• Шаг 5: Решим уравнение:

Отсюда, x = 0 или x = 4. Найдем соответствующие значения y:

Если x = 0, то y = 2 - 0 = 2.

Если x = 4, то y = 2 - 4 = -2.

• Шаг 6: Проверим полученные решения, подставив их в исходные уравнения:

Для (0, 2): \[ 0 + 2 = 2 \text{ (верно)}\\ 0^2 + 4 \cdot 2 = 8 \text{ (верно)} \]

Для (4, -2): \[ 4 + (-2) = 2 \text{ (верно)}\\ 4^2 + 4 \cdot (-2) = 16 - 8 = 8 \text{ (верно)} \]

б) Решение системы уравнений

• Шаг 1: Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = y + 4\]

• Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 4)^2 + (y + 4)y = 6\]

• Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:

\[y^2 + 8y + 16 + y^2 + 4y = 6\]

\[2y^2 + 12y + 10 = 0\]

• Шаг 4: Разделим уравнение на 2:

\[y^2 + 6y + 5 = 0\]

• Шаг 5: Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\]

\[y_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1\]

\[y_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 - 4}{2} = -5\]

• Шаг 6: Найдем соответствующие значения x:

Если y = -1, то x = -1 + 4 = 3.

Если y = -5, то x = -5 + 4 = -1.

• Шаг 7: Проверим полученные решения, подставив их в исходные уравнения:

Для (3, -1): \[ 3 - (-1) = 4 \text{ (верно)}\\ 3^2 + 3 \cdot (-1) = 9 - 3 = 6 \text{ (верно)} \]

Для (-1, -5): \[ -1 - (-5) = 4 \text{ (верно)}\\ (-1)^2 + (-1) \cdot (-5) = 1 + 5 = 6 \text{ (верно)} \]

Ответ: a) x = 2, y = 0; x = -4, y = 6; б) x = 3, y = -1; x = -2, y = -6