Решите систему уравнений методом сложения: 6x+7y=2, 3x-4y=46

Привет! Давай решим эту систему методом сложения. Здесь нам придется немного подготовить уравнения, чтобы коэффициенты стали противоположными.

Дано:

• \[ \begin{cases} 6x+7y=2 \\ 3x-4y=46 \end{cases} \]

Решение:

1. Подготовка уравнений: Чтобы избавиться от x, мы можем умножить второе уравнение на -2. Тогда коэффициент при x станет -6x, что является противоположностью 6x в первом уравнении.

   Первое уравнение остается без изменений:

   \[ 6x+7y=2 \]

   Второе уравнение умножаем на -2:

   \[ -2(3x-4y) = -2(46) \]

   \[ -6x+8y=-92 \]

2. Сложение уравнений: Теперь сложим первое уравнение и измененное второе:

   \[ (6x+7y) + (-6x+8y) = 2 + (-92) \]

   6x и -6x взаимно уничтожаются.

   7y + 8y = 15y.

   2 - 92 = -90.

   Получаем новое уравнение: 15y = -90.

3. Находим y: Разделим обе части на 15:

\[ \frac{15y}{15} = \frac{-90}{15} \]

Получаем: y = -6.

\[ 6x+7y=2 \]

Подставляем y = -6:

\[ 6x + 7(-6) = 2 \]

\[ 6x - 42 = 2 \]

Прибавим 42 к обеим частям:

\[ 6x = 2 + 42 \]

\[ 6x = 44 \]

Чтобы найти x, разделим обе части на 6:

\[ x = \frac{44}{6} \]

\[ x = \frac{22}{3} \]

Проверка: Подставим x=22/3 и y=-6 во второе исходное уравнение:

\[ 3x-4y=46 \]

\[ 3(\frac{22}{3}) - 4(-6) = 46 \]

\[ 22 + 24 = 46 \]

\[ 46 = 46 \]

Все отлично!

Ответ: x = 22/3, y = -6