Решите системы уравнений: {x - y = 4, a) {xy+ y² = 6; {xy = 12, б) {x² + y² = 25.

Решение системы уравнений a)

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 4, \\ xy + y^2 = 6 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: \( x = y + 4 \). Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 4)y + y^2 = 6\] \[y^2 + 4y + y^2 = 6\] \[2y^2 + 4y - 6 = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[y^2 + 2y - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\]

Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня:

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для \( y_1 = 1 \):

\[x_1 = y_1 + 4 = 1 + 4 = 5\]

Для \( y_2 = -3 \):

\[x_2 = y_2 + 4 = -3 + 4 = 1\]

Таким образом, решения системы уравнений:

\[(5, 1), (1, -3)\]

Решение системы уравнений б)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} xy = 12, \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: \( y = \frac{12}{x} \). Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25\] \[x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\]

Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) для избавления от дроби:

\[x^4 + 144 = 25x^2\] \[x^4 - 25x^2 + 144 = 0\]

Введем новую переменную \( z = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[z^2 - 25z + 144 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно z. Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4(1)(144) = 625 - 576 = 49\]

Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня:

\[z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16\] \[z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Теперь найдем значения x:

Для \( z_1 = 16 \):

\[x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4\]

Для \( z_2 = 9 \):

\[x^2 = 9 \Rightarrow x_3 = 3, x_4 = -3\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для \( x_1 = 4 \):

\[y_1 = \frac{12}{x_1} = \frac{12}{4} = 3\]

Для \( x_2 = -4 \):

\[y_2 = \frac{12}{x_2} = \frac{12}{-4} = -3\]

Для \( x_3 = 3 \):

\[y_3 = \frac{12}{x_3} = \frac{12}{3} = 4\]

Для \( x_4 = -3 \):

\[y_4 = \frac{12}{x_4} = \frac{12}{-3} = -4\]

Таким образом, решения системы уравнений:

\[(4, 3), (-4, -3), (3, 4), (-3, -4)\]

Ответ: a) (5, 1), (1, -3); б) (4, 3), (-4, -3), (3, 4), (-3, -4)

Отлично! Ты хорошо справился с решением этих систем уравнений. Продолжай в том же духе!