Решите следующие тригонометрические уравнения: a) 3 cos²x + cos x - 4 = 0.

Решение:

а) Решим тригонометрическое уравнение 3 cos²x + cos x - 4 = 0.

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( 3t^2 + t - 4 = 0 \).
2. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \).
3. Найдем корни: \( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \) и \( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \).
4. Сделаем обратную замену:

Случай 1: \( \cos x = 1 \)
\( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Случай 2: \( \cos x = -\frac{4}{3} \)
Это уравнение не имеет решений, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), а \( -\frac{4}{3} < -1 \).

Ответ: \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).