Решите следующие тригонометрические уравнения: б) 3 sinx - 5 cos x = 0.

Решение:

б) Решим однородное тригонометрическое уравнение 3 sinx - 5 cos x = 0.

1. Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (заметим, что \( \cos x \neq 0 \), так как если бы \( \cos x = 0 \), то и \( \sin x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)).
2. Получим: \( 3\frac{\sin x}{\cos x} - 5 = 0 \).
3. Так как \( \frac{\sin x}{\cos x} = \mathrm{tg} x \), то уравнение примет вид: \( 3\mathrm{tg} x - 5 = 0 \).
4. Решим его: \( 3\mathrm{tg} x = 5 \)
   \( \mathrm{tg} x = \frac{5}{3} \).
5. Найдем общее решение: \( x = \mathrm{arctg} \left( \frac{5}{3} \right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \mathrm{arctg} \left( \frac{5}{3} \right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).