Решите следующие тригонометрические уравнения: В) 3 sin²x - 4 sin x cos x + cos²x = 0.

Решение:

в) Решим однородное тригонометрическое уравнение 3 sin²x - 4 sin x cos x + cos²x = 0.

1. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (заметим, что \( \cos x \neq 0 \), так как если бы \( \cos x = 0 \), то и \( \sin x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)).
2. Получим: \( 3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \).
3. Упростим: \( 3\mathrm{tg}^2 x - 4\mathrm{tg} x + 1 = 0 \).
4. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \mathrm{tg} x \). Тогда уравнение примет вид: \( 3t^2 - 4t + 1 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \).
6. Найдем корни: \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \) и \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
7. Сделаем обратную замену:

Случай 1: \( \mathrm{tg} x = 1 \)
\( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Случай 2: \( \mathrm{tg} x = \frac{1}{3} \)
\( x = \mathrm{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = \mathrm{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).