Решение уравнений

1. $$5^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 250$$

   $$5^x \cdot 5^1 - 3 \cdot 5^x = 250$$

   $$5^x(5 - 3) = 250$$

   $$5^x \cdot 2 = 250$$

   $$5^x = 125$$

   $$5^x = 5^3$$

   $$\mathbf{x = 3}$$

2. $$4^x - 3 \cdot 2^x = 40$$

   Заметим, что $$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$. Пусть $$t = 2^x$$, тогда уравнение примет вид:

   $$t^2 - 3t - 40 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$

   $$t_1 = \frac{3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

   $$t_2 = \frac{3 - \sqrt{169}}{2} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

   Вернёмся к замене:

   • $$2^x = 8$$, $$2^x = 2^3$$, $$\mathbf{x = 3}$$.
   • $$2^x = -5$$. Это уравнение не имеет решений, так как $$2^x$$ всегда положительно.