Решите уравнение 1 / (x - 2)^2 - 1 / (x - 2) - 6 = 0.

Решение:

Введем замену: \( y = \frac{1}{x - 2} \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - y - 6 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Для этого найдем дискриминант:

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)

Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня:

\( y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

Теперь вернемся к замене и найдем \( x \) для каждого значения \( y \):

1) Если \( y = 3 \), то \( \frac{1}{x - 2} = 3 \). Отсюда \( x - 2 = \frac{1}{3} \), и \( x_1 = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).

2) Если \( y = -2 \), то \( \frac{1}{x - 2} = -2 \). Отсюда \( x - 2 = -\frac{1}{2} \), и \( x_2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).

Ответ: \( x_1 = \frac{7}{3} \), \( x_2 = \frac{3}{2} \)