Решите уравнение: 1 / (2x - 3) + 1 / (x - 1) = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. x =

Решение:

1. Приведем уравнение к общему знаменателю:

\[ \frac{1 \cdot (x-1) + 1 \cdot (2x-3)}{(2x-3)(x-1)} = 2 \]

2. Упростим числитель:

\[ \frac{x-1 + 2x-3}{(2x-3)(x-1)} = 2 \]

\[ \frac{3x-4}{(2x-3)(x-1)} = 2 \]

3. Раскроем скобки в знаменателе:

\[ (2x-3)(x-1) = 2x^2 - 2x - 3x + 3 = 2x^2 - 5x + 3 \]

4. Перенесем все в одну сторону и приравняем к нулю:

\[ \frac{3x-4}{2x^2 - 5x + 3} = 2 \]

\[ 3x-4 = 2(2x^2 - 5x + 3) \]

\[ 3x-4 = 4x^2 - 10x + 6 \]

\[ 4x^2 - 10x - 3x + 6 + 4 = 0 \]

\[ 4x^2 - 13x + 10 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9 \]

\[ \sqrt{D} = 3 \]

6. Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 \]

7. Проверим, не равны ли знаменатели нулю при найденных корнях:

При x = 5/4:

2x - 3 = 2(5/4) - 3 = 5/2 - 3 = 5/2 - 6/2 = -1/2
eq 0

x - 1 = 5/4 - 1 = 1/4
eq 0

При x = 2:

2x - 3 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1
eq 0

x - 1 = 2 - 1 = 1
eq 0

8. Так как уравнение имеет два корня, выберем меньший:

Ответ: 5/4