Решите уравнение: (3x - 2) / (x - 1) - (2x + 3) / (x + 3) = (12x + 4) / (x^2 + 2x - 3). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. x =

Решение:

1. Разложим знаменатель правой части на множители:

\[ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) \]

2. Приведем все дроби к общему знаменателю (x - 1)(x + 3):

\[ \frac{(3x-2)(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)} \]

3. Умножим числители на соответствующие множители:

\[ (3x-2)(x+3) = 3x^2 + 9x - 2x - 6 = 3x^2 + 7x - 6 \]

\[ (2x+3)(x-1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3 \]

4. Подставим в уравнение:

\[ (3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3) = 12x + 4 \]

5. Раскроем скобки и упростим:

\[ 3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x + 4 \]

\[ x^2 + 6x - 3 = 12x + 4 \]

6. Перенесем все в одну сторону и приравняем к нулю:

\[ x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0 \]

\[ x^2 - 6x - 7 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

\[ \sqrt{D} = 8 \]

8. Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \]

9. Проверим, не равны ли знаменатели нулю при найденных корнях:

При x = -1:

x - 1 = -1 - 1 = -2
eq 0

x + 3 = -1 + 3 = 2
eq 0

x^2 + 2x - 3 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
eq 0

При x = 7:

x - 1 = 7 - 1 = 6
eq 0

x + 3 = 7 + 3 = 10
eq 0

x^2 + 2x - 3 = 7^2 + 2(7) - 3 = 49 + 14 - 3 = 60
eq 0

10. Так как уравнение имеет два корня, выберем меньший:

Ответ: -1