Решите уравнение: 1 / (x - 3) + 18 / (x^2 - 9) = x / (x + 3). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. x =

Решение:

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители:

\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]

2. Приведем все дроби к общему знаменателю (x - 3)(x + 3):

\[ \frac{1 \cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{18}{(x-3)(x+3)} = \frac{x \cdot (x-3)}{(x-3)(x+3)} \]

3. Упростим числители:

\[ (x+3) + 18 = x(x-3) \]

\[ x + 3 + 18 = x^2 - 3x \]

\[ x + 21 = x^2 - 3x \]

4. Перенесем все в одну сторону и приравняем к нулю:

\[ x^2 - 3x - x - 21 = 0 \]

\[ x^2 - 4x - 21 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]

\[ \sqrt{D} = 10 \]

6. Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \]

7. Проверим, не равны ли знаменатели нулю при найденных корнях:

При x = -3:

x - 3 = -3 - 3 = -6
eq 0

x + 3 = -3 + 3 = 0

x^2 - 9 = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0

Так как при x = -3 знаменатели обращаются в ноль, этот корень не подходит.

При x = 7:

x - 3 = 7 - 3 = 4
eq 0

x + 3 = 7 + 3 = 10
eq 0

x^2 - 9 = 7^2 - 9 = 49 - 9 = 40
eq 0

8. Уравнение имеет один подходящий корень.

Ответ: 7