Решите уравнение: 2sin^{2} x = 3sin x.

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно \( \sin x \): \( 2\sin^2 x - 3\sin x = 0 \)
2. Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки: \( \sin x (2\sin x - 3) = 0 \)
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
4. Случай 1: \( \sin x = 0 \).
5. Общее решение для \( \sin x = 0 \) есть \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.
6. Случай 2: \( 2\sin x - 3 = 0 \).
7. \( 2\sin x = 3 \)
8. \( \sin x = \frac{3}{2} \)
9. Так как \( \sin x \) может принимать значения только в диапазоне \( [-1; 1] \), уравнение \( \sin x = \frac{3}{2} \) не имеет решений.

Ответ: \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).