Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 3x - 1, y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = 0 \) (ось абсцисс), \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле определённого интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \)

В данном случае \( f(x) = 3x - 1 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \). На интервале \( [1, 2] \) функция \( y = 3x - 1 \) положительна, так как при \( x=1 \) \( y=2 \) и при \( x=2 \) \( y=5 \).

\( S = \int_{1}^{2} (3x - 1) dx \)

Найдем первообразную функции \( 3x - 1 \):

\( \int (3x - 1) dx = \frac{3x^2}{2} - x \)

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = \left[ \frac{3x^2}{2} - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{3(2)^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3(1)^2}{2} - 1 \right) \)

\( S = \left( \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \)

\( S = \left( \frac{12}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \right) \)

\( S = (6 - 2) - \frac{1}{2} \)

\( S = 4 - \frac{1}{2} \)

\( S = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} \)

\( S = \frac{7}{2} \) или \( 3.5 \)

Ответ: \( S = \frac{7}{2} \) (или 3.5).