7. Решите уравнение: а) cosx + \(\frac{1}{2}\) = 0; б) 7cosx - 3 + 6cos²x = 0;

Ответ: а) x = ±\(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z; б) x = ±arccos(-\(\frac{3}{2}\)) + 2\(\pi\)n (нет решений), x = ±\(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z

Пошаговое решение:

а) cosx + \(\frac{1}{2}\) = 0

1. Выразим cos x: cos x = -\(\frac{1}{2}\).
2. Найдем значения x, при которых cos x = -\(\frac{1}{2}\). Это углы ±\(\frac{2\pi}{3}\).
3. Запишем общее решение: x = ±\(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z.

б) 7cosx - 3 + 6cos²x = 0

1. Преобразуем уравнение: 6cos²x + 7cosx - 3 = 0.
2. Решим квадратное уравнение относительно cosx. Обозначим cosx = t: 6t² + 7t - 3 = 0.
3. Найдем дискриминант: D = 7² - 4 \(\cdot\) 6 \(\cdot\) (-3) = 49 + 72 = 121.
4. Найдем корни: t₁ = \(\frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6}\) = \(\frac{-7 + 11}{12}\) = \(\frac{4}{12}\) = \(\frac{1}{3}\); t₂ = \(\frac{-7 - 11}{12}\) = \(\frac{-18}{12}\) = -\(\frac{3}{2}\).
5. Найдем значения x для каждого корня:
6. cosx = \(\frac{1}{3}\): x = ±arccos(\(\frac{1}{3}\)) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z.
7. cosx = -\(\frac{3}{2}\): нет решений, так как -1 ≤ cosx ≤ 1.

Ответ: а) x = ±\(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z; б) x = ±arccos(-\(\frac{3}{2}\)) + 2\(\pi\)n (нет решений), x = ±\(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z