3. Решите уравнение: а) х²/(x²-9) = (12-x)/(x²-9); б) 6/(x-2) + 5/x = 3.

а) Решим уравнение $$ \frac{x^2}{x^2 - 9} = \frac{12 - x}{x^2 - 9}$$.

Умножим обе части уравнения на $$x^2 - 9$$, при условии $$x^2 - 9
eq 0$$, то есть $$x
eq \pm 3$$:

$$x^2 = 12 - x$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$x^2 + x - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета. Найдем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна -1.

Это числа 3 и -4. Значит, корни уравнения:

$$x_1 = 3, x_2 = -4$$

Однако, у нас есть условие $$x
eq \pm 3$$, поэтому корень x = 3 не подходит.

б) Решим уравнение $$\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3$$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $$x(x-2)$$. Домножим числители на соответствующие множители:

$$\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3$$ $$\frac{6x + 5x - 10}{x^2 - 2x} = 3$$ $$\frac{11x - 10}{x^2 - 2x} = 3$$

Умножим обе части на $$x^2 - 2x$$, при условии $$x
eq 0$$ и $$x
eq 2$$:

$$11x - 10 = 3(x^2 - 2x)$$ $$11x - 10 = 3x^2 - 6x$$

Перенесем все члены в правую часть:

$$3x^2 - 6x - 11x + 10 = 0$$ $$3x^2 - 17x + 10 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$$ $$x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Ответ: а) x = -4; б) x = 5, x = 2/3