Решите уравнение: а) \(x^3-81x=0\); б) \(4x^3-x^2+36-9x=0\).

а)

1. Вынесем общий множитель: \(x(x^2-81)=0\).
2. Разложим разность квадратов: \(x(x-9)(x+9)=0\).
3. Приравняем множители к нулю: \(x=0\), \(x=9\) или \(x=-9\).

б)

1. Запишем многочлен в порядке убывания степеней: \(f(x)=4x^3-x^2-9x+36\).
2. Уравнение не имеет рациональных корней. Для оценки числа действительных корней рассмотрим производную: \(f'(x)=12x^2-2x-9\). Её нули равны \(\dfrac{1-\sqrt{109}}{12}\) и \(\dfrac{1+\sqrt{109}}{12}\). Значения функции в обеих точках положительны, поэтому график пересекает ось \(x\) только один раз.
3. Численное решение уравнения: \(x\approx -2.3454\).

Ответ: а) \(-9,\ 0,\ 9\); б) \(x\approx -2.3454\) (единственный действительный корень).