Решите уравнение \(\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2+12=64\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^2\).

ОДЗ: \(x\ne1\), \(x\ne-3\).

Обозначим:

\[t=\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2.\]

Тогда \(\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^2=\frac{1}{t}\), и уравнение принимает вид:

\[t+12=\frac{64}{t}.\]

Умножим на \(t\):

\[t^2+12t-64=0,\]

\[(t-4)(t+16)=0.\]

Так как \(t\ge0\), значение \(t=-16\) невозможно. Поэтому:

\[\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2=4,\]

\[\frac{x+3}{x-1}=2\quad\text{или}\quad\frac{x+3}{x-1}=-2.\]

1) \(x+3=2x-2\), откуда \(x=5\).

2) \(x+3=-2x+2\), откуда \(3x=-1\), то есть \(x=-\frac13\).

Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ: \(x=5;\ -\frac13\).