Решите уравнение; 2 sen 2x-1=0 a) 2 sen d) 1+ Cos8x = 2 cos 4x

Уравнение можно переписать как: \[2\sin^2(x) = 1 \Rightarrow \sin^2(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Решения: \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\]

Воспользуемся формулой \(cos(2x) = 2cos^2(x) - 1\), тогда \(cos(8x) = 2cos^2(4x) - 1\). Уравнение можно переписать как: \[1 + 2\cos^2(4x) - 1 = 2\cos(4x) \Rightarrow 2\cos^2(4x) - 2\cos(4x) = 0\] \[2\cos(4x)(\cos(4x) - 1) = 0\]

Отсюда два случая:

• cos(4x) = 0, тогда \(4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}\)
• cos(4x) = 1, тогда \(4x = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\)