10. Решите уравнение 3 sin²x-7 sin x cos x+2 cos² x=0;

Пошаговое решение:

• Разделим обе части уравнения на \( cos^2(x) \), предполагая, что \( cos(x) ≠ 0 \): \[ 3\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} - 7\frac{sin(x)cos(x)}{cos^2(x)} + 2\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)} = 0 \]
• Упростим: \[ 3tg^2(x) - 7tg(x) + 2 = 0 \]
• Введем замену \( t = tg(x) \): \[ 3t^2 - 7t + 2 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение относительно \( t \): Найдем дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \] Найдем корни: \[ t_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ t_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
• Найдем \( x \) для каждого значения \( t \):
• Для \( t_1 = 2 \): \[ tg(x) = 2 \] \[ x = arctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]
• Для \( t_2 = \frac{1}{3} \): \[ tg(x) = \frac{1}{3} \] \[ x = arctg(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: x = arctg(2) + πn, x = arctg(1/3) + πk, где n, k ∈ Z