5. Решите уравнение: 4sin²x=-4 sin (-x)-1. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; π/2]

Решение:

Разбираемся: Нужно упростить уравнение и найти корни, принадлежащие заданному промежутку.

• 4sin²x = -4sin(-x) - 1
• 4sin²x = 4sinx - 1
• 4sin²x - 4sinx + 1 = 0

Замечаем, что это полный квадрат:

• (2sinx - 1)² = 0
• 2sinx - 1 = 0
• sinx = 1/2

Корни уравнения sinx = 1/2:

• x = π/6 + 2πk
• x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число

Теперь нужно найти корни, принадлежащие промежутку [-2π; π/2]:

Для x = π/6 + 2πk:

• k = -1: x = π/6 - 2π = π/6 - 12π/6 = -11π/6
• k = 0: x = π/6

Для x = 5π/6 + 2πk:

• k = -1: x = 5π/6 - 2π = 5π/6 - 12π/6 = -7π/6

Проверяем, какие корни входят в заданный промежуток:

• -11π/6 ≈ -5.76 (входит)
• π/6 ≈ 0.52 (входит)
• -7π/6 ≈ -3.66 (входит)

Ответ: -11π/6, -7π/6, π/6