Решите уравнение: \(\sqrt[4]{x-1}+3\sqrt{x-1}-4=0\).

Область определения: \(x\geq1\). Положим \(t=\sqrt[4]{x-1}\), тогда \(t\geq0\) и \(\sqrt{x-1}=t^2\).

Получим \(3t^2+t-4=0\). Разложение на множители: \((3t+4)(t-1)=0\). Корни уравнения для \(t\): \(-\dfrac43\) и \(1\); условию \(t\geq0\) удовлетворяет только \(t=1\).

Тогда \(\sqrt[4]{x-1}=1\), следовательно, \(x-1=1\) и \(x=2\). Проверка подстановкой подтверждает равенство.

Ответ: \(x=2\).