3. Решите уравнение (x² – 2x)² - 7 (x²-2x) - 8 = 0 методом замены переменной.

Решим уравнение \((x^2 - 2x)^2 - 7(x^2 - 2x) - 8 = 0\) методом замены переменной.

Пусть t = x² - 2x. Тогда уравнение примет вид:

t² - 7t - 8 = 0

Решим квадратное уравнение относительно t.

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81

t₁ = \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2*1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8\)

t₂ = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2*1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)

Теперь вернемся к замене x² - 2x = t:

1) x² - 2x = 8 ⇒ x² - 2x - 8 = 0

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

x₁ = \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2*1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

x₂ = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2*1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

2) x² - 2x = -1 ⇒ x² - 2x + 1 = 0

(x - 1)² = 0

x₃ = 1

Ответ: x₁ = 4, x₂ = -2, x₃ = 1