5. Решите уравнение (7x - 2)² - 12|7x - 2| - 28 = 0. В ответ запишите число, противоположное разности наибольшего и наименьшего корней.

Решим уравнение (7x - 2)² - 12|7x - 2| - 28 = 0

Замена: t = |7x - 2|

Уравнение примет вид: t² - 12t - 28 = 0

Решим квадратное уравнение относительно t.

D = b² - 4ac = (-12)² - 4 * 1 * (-28) = 144 + 112 = 256

t₁ = \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{256}}{2*1} = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14\)

t₂ = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{256}}{2*1} = \frac{12 - 16}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Так как t = |7x - 2|, то t ≥ 0. Следовательно, t₂ = -2 не подходит.

Возвращаемся к замене:

|7x - 2| = 14

1) 7x - 2 = 14

7x = 16

x₁ = \(\frac{16}{7}\)

2) 7x - 2 = -14

7x = -12

x₂ = -\(\frac{12}{7}\)

Наибольший корень: \(\frac{16}{7}\)

Наименьший корень: -\(\frac{12}{7}\)

Разность наибольшего и наименьшего корней: \(\frac{16}{7}\) - (- \(\frac{12}{7}\)) = \(\frac{16}{7}\) + \(\frac{12}{7}\) = \(\frac{28}{7}\) = 4

Число, противоположное разности: -4

Ответ: -4