Решите уравнение: x² - 2x + √4 - x = √4 - x + 15

Решение:

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить:

\[ x^2 - 2x + \sqrt{4-x} - \sqrt{4-x} - 15 = 0 \]

Упростим выражение, так как члены с квадратным корнем взаимно уничтожаются:

\[ x^2 - 2x - 15 = 0 \]

Теперь у нас получилось обычное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Воспользуемся дискриминантом:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Где a = 1, b = -2, c = -15.

\[ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 4 + 60 = 64 \]

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два действительных корня.

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \times 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \times 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Проверка:

Для того чтобы корни были действительными, выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

\[ 4 - x \ge 0 \]

\[ 4 \ge x \]

Проверим найденные корни:

• Для x = 5: 4 - 5 = -1. Это меньше нуля, значит, x = 5 не является корнем исходного уравнения (так как √(-1) не является действительным числом).
• Для x = -3: 4 - (-3) = 4 + 3 = 7. Это больше нуля, значит, √7 действительное число. Подставим -3 в исходное уравнение:

\[ (-3)^2 - 2(-3) + \sqrt{4 - (-3)} = \sqrt{4 - (-3)} + 15 \]

\[ 9 + 6 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 15 \]

\[ 15 + \sqrt{7} = 15 + \sqrt{7} \]

Равенство верно.

Ответ: -3