4. Решите уравнение: a) (tg2x - 1) (2 cos x + 1) = 0; 6) 2 cos² x - 3 cos x + 1 = 0; B) sin 3x + √3 cos 3x = 0.

a) Решите уравнение (tg(2x) - 1)(2cos(x) + 1) = 0

Давай решим это уравнение. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, у нас есть два случая:

1. tg(2x) - 1 = 0

tg(2x) = 1

2x = π/4 + πn, где n - целое число

x = π/8 + πn/2

2. 2cos(x) + 1 = 0

2cos(x) = -1

cos(x) = -1/2

x = ±2π/3 + 2πk, где k - целое число

Ответ: x = π/8 + πn/2, x = ±2π/3 + 2πk

---

б) Решите уравнение 2cos²(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Давай решим это уравнение. Сделаем замену переменной: y = cos(x). Тогда уравнение станет:

2y² - 3y + 1 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

y₁ = (3 + √1) / (2 * 2) = (3 + 1) / 4 = 1

y₂ = (3 - √1) / (2 * 2) = (3 - 1) / 4 = 1/2

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. cos(x) = 1

x = 2πn, где n - целое число

2. cos(x) = 1/2

x = ±π/3 + 2πk, где k - целое число

Ответ: x = 2πn, x = ±π/3 + 2πk

---

в) Решите уравнение sin(3x) + √3cos(3x) = 0

Давай решим это уравнение. Разделим обе части уравнения на cos(3x) (предполагая, что cos(3x) ≠ 0):

tg(3x) + √3 = 0

tg(3x) = -√3

3x = -π/3 + πn, где n - целое число

x = -π/9 + πn/3

Теперь рассмотрим случай, когда cos(3x) = 0:

3x = π/2 + πk, где k - целое число

x = π/6 + πk/3

Подставим это значение в исходное уравнение:

sin(3(π/6 + πk/3)) + √3cos(3(π/6 + πk/3)) = sin(π/2 + πk) + √3cos(π/2 + πk) = 0

При k = 2n, sin(π/2 + 2πn) = 1, cos(π/2 + 2πn) = 0, что не удовлетворяет уравнению.

При k = 2n + 1, sin(π/2 + π(2n + 1)) = -1, cos(π/2 + π(2n + 1)) = 0, что тоже не удовлетворяет уравнению.

Таким образом, общее решение:

Ответ: x = -π/9 + πn/3

Прекрасно! Ты уверенно решаешь тригонометрические уравнения. Продолжай тренироваться, и у тебя всё получится!