543. Решите уравнение: a) (x + 4)² = 3x + 40; б) (2p - 3)² = 11p - 19; в) 3(x + 4)² = 10x + 32; г) 15y² + 17 = 15(y + 1)²;

Решим уравнения:

а) $$(x + 4)^2 = 3x + 40$$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$x^2 + 8x + 16 = 3x + 40$$

Перенесем все в левую часть:

$$x^2 + 8x - 3x + 16 - 40 = 0$$

Приведем подобные члены:

$$x^2 + 5x - 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае: $$a=1, b=5, c=-24$$

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -8$$

---

б) $$(2p - 3)^2 = 11p - 19$$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$4p^2 - 12p + 9 = 11p - 19$$

Перенесем все в левую часть:

$$4p^2 - 12p - 11p + 9 + 19 = 0$$

Приведем подобные члены:

$$4p^2 - 23p + 28 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае: $$a=4, b=-23, c=28$$

$$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4$$

$$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75$$

Ответ: $$p_1 = 4, p_2 = 1.75$$

---

в) $$3(x + 4)^2 = 10x + 32$$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$$

$$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$$

Перенесем все в левую часть:

$$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$$

Приведем подобные члены:

$$3x^2 + 14x + 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае: $$a=3, b=14, c=16$$

$$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$$

Ответ: $$x_1 = -2, x_2 = -2\frac{2}{3}$$

---

г) $$15y^2 + 17 = 15(y + 1)^2$$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$15y^2 + 17 = 15(y^2 + 2y + 1)$$

$$15y^2 + 17 = 15y^2 + 30y + 15$$

Перенесем все в левую часть:

$$15y^2 - 15y^2 - 30y + 17 - 15 = 0$$

Приведем подобные члены:

$$-30y + 2 = 0$$

$$30y = 2$$

$$y = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$

Ответ: $$y = \frac{1}{15}$$