338. Решите уравнение: a) x3 + 1/x3 = 22(x + 1/x);

a)$$x^3 + \frac{1}{x^3} = 22(x + \frac{1}{x});$$

Пусть $$t = x + \frac{1}{x}$$, тогда $$t^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x+\frac{1}{x})$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$$

Подставим в уравнение:

$$t^3 - 3t = 22t$$

$$t^3 - 25t = 0$$

$$t(t^2 - 25) = 0$$

$$t_1 = 0; t_2 = 5; t_3 = -5$$

1) $$x + \frac{1}{x} = 0$$

$$x^2 + 1 = 0$$

$$x^2 = -1$$

Решений нет.

2) $$x + \frac{1}{x} = 5$$

$$x^2 - 5x + 1 = 0$$

$$D = 25 - 4 = 21$$

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$$

3) $$x + \frac{1}{x} = -5$$

$$x^2 + 5x + 1 = 0$$

$$D = 25 - 4 = 21$$

$$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$$

Ответ: $$\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}; \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$$