3. Решите уравнение a) x⁴ - 13x² + 36 = 0. 6) x 8 1 --- + ----- - --- = 0. x-2 4-x² x+2

a) x⁴ - 13x² + 36 = 0

Пусть y = x², тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - 13y + 36 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$y_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Теперь вернемся к x:

$$x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3$$

$$x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2$$

б) $$\frac{x}{x-2} + \frac{8}{4-x^2} - \frac{1}{x+2} = 0$$

Преобразуем уравнение, учитывая, что 4 - x² = -(x - 2)(x + 2):

$$\frac{x}{x-2} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x+2} = 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{x(x+2) - 8 - 1(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 0$$

$$\frac{x^2 + 2x - 8 - x + 2}{(x-2)(x+2)} = 0$$

$$\frac{x^2 + x - 6}{(x-2)(x+2)} = 0$$

Найдем корни числителя:

$$x^2 + x - 6 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим корни на принадлежность области определения. x ≠ 2 и x ≠ -2.

x₁ = 2 не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. x₂ = -3

Ответ: a) x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 2, x₄ = -2; б) x = -3