Решите уравнения: 1) $$9^x + 3 \cdot 3^x = 36$$ 2) $$5 \cdot 3^{x+1} + 54 = 0$$ 3) $$4^x = 2.5 \cdot 6^x$$

Решим уравнения: 1) $$9^x + 3 \cdot 3^x = 36$$ Заметим, что $$9^x = (3^x)^2$$. Пусть $$y = 3^x$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 + 3y = 36$$ $$y^2 + 3y - 36 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 9 + 144 = 153$$ $$y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{153}}{2}$$ $$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{153}}{2} > 0$$ $$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{153}}{2} < 0$$ Так как $$y = 3^x > 0$$, то подходит только $$y_1$$. $$3^x = \frac{-3 + \sqrt{153}}{2}$$ $$x = \log_3(\frac{-3 + \sqrt{153}}{2})$$ 2) $$5 \cdot 3^{x+1} + 54 = 0$$ $$5 \cdot 3 \cdot 3^x = -54$$ $$15 \cdot 3^x = -54$$ $$3^x = -\frac{54}{15} = -\frac{18}{5}$$ Так как $$3^x > 0$$ для любого $$x$$, то уравнение не имеет решений. 3) $$4^x = 2.5 \cdot 6^x$$ $$\frac{4^x}{6^x} = 2.5$$ $$(\frac{4}{6})^x = 2.5$$ $$(\frac{2}{3})^x = \frac{5}{2}$$ $$x \cdot \log(\frac{2}{3}) = \log(\frac{5}{2})$$ $$x = \frac{\log(\frac{5}{2})}{\log(\frac{2}{3})}$$ Ответ: 1) $$x = \log_3(\frac{-3 + \sqrt{153}}{2})$$ 2) Нет решений. 3) $$x = \frac{\log(\frac{5}{2})}{\log(\frac{2}{3})}$$