Решите уравнения: cos x = 1/6 sin (x-π/3) = 1 tg x = √3 ctg x = 2 5 cos²x - 8 cos x + 3 = 0

Решение:

1. \(\cos x = \frac{1}{6}\)
   Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение записывается как:
   \[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
2. \(\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = 1\)
   Пусть \( y = x - \frac{\pi}{3} \). Тогда \(\sin y = 1\).
   Решение для \(y\): \( y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
   Возвращаемся к \(x\):
   \[ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \]
   \[ x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]
   \[ x = \frac{3\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k \]
   \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
3. \(\text{tg } x = \sqrt{3}\)
   Это частный случай уравнения \(\text{tg } x = a\).
   \[ x = \text{arctg}\left(\sqrt{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
   \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
4. \(\text{ctg } x = 2\)
   Это простейшее тригонометрическое уравнение.
   \[ x = \text{arcctg}(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
5. \(5\cos^2 x - 8\cos x + 3 = 0\)
   Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\).
   Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:
   \[ 5y^2 - 8y + 3 = 0 \]
   Найдём дискриминант:
   \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 \]
   Найдём корни:
   \[ y_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
   \[ y_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
   Теперь вернёмся к \(\cos x\):
   а) \(\cos x = 1\)
   \( x = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \)
   б) \(\cos x = \frac{3}{5}\)
   \( x = \pm \arccos\left(\frac{3}{5}\right) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \)
   Ответ:
   1. \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
   2. \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)
   3. \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
   4. \( x = \text{arcctg}(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
   5. \( x = 2\pi m \) или \( x = \pm \arccos\left(\frac{3}{5}\right) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \).