Решите возвратное уравнение \(2x^4+3x^3-5x^2+3x+2=0\).

При \(x\ne0\) разделим уравнение на \(x^2\) и положим \(t=x+\frac1x\). Используем равенство \(x^2+\frac1{x^2}=t^2-2\).

Получаем: \(2(t^2-2)+3t-5=0\), то есть \(2t^2+3t-9=0\).

Корни этого уравнения: \(t=\frac32\) и \(t=-3\). Для действительного \(x\) значение \(x+\frac1x\) должно быть не меньше \(2\) или не больше \(-2\), поэтому \(t=\frac32\) не подходит.

При \(t=-3\): \(x+\frac1x=-3\), значит, \(x^2+3x+1=0\). Отсюда \(x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}\).

Ответ: \(x=\frac{-3-\sqrt5}{2},\;\frac{-3+\sqrt5}{2}\).