Решите возвратное уравнение \(3x^4-5x^3-6x^2-5x+3=0\).

Так как коэффициенты симметричны, при \(x\ne0\) разделим уравнение на \(x^2\) и введём замену \(t=x+\frac1x\). Тогда \(x^2+\frac1{x^2}=t^2-2\).

Получаем: \(3(t^2-2)-5t-6=0\), то есть \(3t^2-5t-12=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(t=3\) или \(t=-\frac43\). Для действительных \(x\) значение \(x+\frac1x\) не может лежать между \(-2\) и \(2\), поэтому остаётся \(t=3\).

Тогда \(x+\frac1x=3\), откуда \(x^2-3x+1=0\) и \(x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}\).

Ответ: \(x=\frac{3-\sqrt5}{2},\;\frac{3+\sqrt5}{2}\).