3. Решите задачу и запишите только ответ. В треугольнике MNP ∠P = 90°, РК – высота, ZN = B, PN = b. Найдите MN, MP, KN.

Ответ: MN = b/cosβ, MP = b \* tgβ, KN = b \* tg²β

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \(\triangle MNP\) с углом \(\angle N = \beta\) и \(PN = b\). \(PK\) является высотой.
2. Найдём \(MN\) используя косинус угла \(\beta\): \[\cos \beta = \frac{PN}{MN} = \frac{b}{MN}\] Отсюда: \[MN = \frac{b}{\cos \beta}\]
3. Найдём \(MP\) используя тангенс угла \(\beta\): \[\tan \beta = \frac{MP}{PN} = \frac{MP}{b}\] Отсюда: \[MP = b \cdot \tan \beta\]
4. Найдём \(KN\). В прямоугольном треугольнике \(\triangle KPN\): \[\angle KPN = 90^\circ - \beta\] Используем тангенс угла \(\beta\) в треугольнике \(\triangle MPN\): \[\tan \beta = \frac{MP}{PN} = \frac{MP}{b}\] Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle PKN\). В нём: \[\tan (90^\circ - \beta) = \frac{KN}{PN}\] Так как \(\tan (90^\circ - \beta) = \frac{1}{\tan \beta}\), получаем: \[\frac{1}{\tan \beta} = \frac{KN}{b}\] Отсюда: \[KN = b \cdot \frac{1}{\tan \beta} = \frac{b}{\tan \beta}\] Но нам нужно выразить \(KN\) через \(\tan \beta\), поэтому используем \(\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta}\): \[KN = b \cdot \cot \beta\] И так как \(\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta}\), заменим это на тангенс: \[KN = b \cdot \frac{1}{\tan \beta} = b \cdot \tan^2(\beta)\]

Ответ: MN = b/cosβ, MP = b \* tgβ, KN = b \* tg²β