Решите задачу. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению, а затем 18 км по озеру. Найдите собственную скорость катера, если известно, что время движения по реке равно времени движения по озеру, а скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорости против течения, по течению и по озеру равны соответственно \(v-3\), \(v+3\) и \(v\). При этом \(v>3\).

Время движения по реке равно сумме времён на участках против течения и по течению:

\(\frac{12}{v-3}+\frac{5}{v+3}\).

Время движения по озеру равно \(\frac{18}{v}\). Составим уравнение:

\(\frac{12}{v-3}+\frac{5}{v+3}=\frac{18}{v}\).

Умножим обе части на \(v(v-3)(v+3)\):

\(12v(v+3)+5v(v-3)=18(v^2-9)\).

Раскроем скобки и упростим: \(17v^2+21v=18v^2-162\), поэтому \(v^2-21v-162=0\).

Разложим на множители: \((v-27)(v+6)=0\). Получаем \(v=27\) или \(v=-6\). Скорость должна быть больше 3 км/ч, поэтому подходит только 27 км/ч.

Ответ: 27 км/ч.