31. Рейка длиной 70 см выдвинута на 25 см за край стола. При этом она не опрокидывается, если к её выступающему концу подвешен груз массой не более 80 г. Чему равна масса рейки?

Дано:

• L = 70 см = 0.7 м (длина рейки)
• x = 25 см = 0.25 м (выдвинутая часть)
• m_г = 80 г = 0.08 кг (масса груза)

Найти: m_р - ? (масса рейки)

Для того чтобы рейка не опрокидывалась, момент силы тяжести рейки относительно края стола должен быть больше или равен моменту силы тяжести груза.

Момент силы определяется как произведение силы на плечо. Плечо силы - это расстояние от точки опоры (края стола) до линии действия силы.

Сила тяжести рейки действует в её центре масс, который находится посередине рейки (L/2). Расстояние от края стола до центра масс рейки, находящейся на столе, равно: (L/2 - (L - x)) = x - L/2 = 0.25 - 0.7/2 = 0.25 - 0.35 = -0.1 м.

Раз центр тяжести рейки лежит на столе, то расстояние от края стола до центра масс рейки равно L - x = 0.7 - 0.25 = 0.45 м. Плечо силы тяжести рейки относительно края стола равно: L/2 - (L - x) = L/2 - L + x = x - L/2 = 0.25 - 0.35 = -0.1 м.

Раз L/2 больше x, то вся рейка не может лежать на столе, следовательно середина рейки лежит за границей стола. Плечо силы тяжести рейки относительно края стола равно: x - L/2 = 0.25 - 0.35 = -0.1 м.

Момент силы тяжести рейки: M_р = m_р * g * |x - L/2|

Момент силы тяжести груза: M_г = m_г * g * x

Условие равновесия: M_р >= M_г

m_р * g * |x - L/2| >= m_г * g * x

m_р * |x - L/2| >= m_г * x

m_р >= m_г * x / |x - L/2|

m_р >= 0.08 * 0.25 / |0.25 - 0.35|

m_р >= 0.08 * 0.25 / 0.1

m_р >= 0.2 кг

Ответ: Масса рейки должна быть не менее 200 грамм.