7. Розв'яжіть систему нерівностей $$\begin{cases} x^2 + x - 6 > 0 \ x^2 + 2x - 1 < 2 end{cases}$$

Розв'яжемо кожну нерівність окремо. 1. $$x^2 + x - 6 > 0$$. Знайдемо корені квадратного тричлена $$x^2 + x - 6 = 0$$. Дискримінант: $$D = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$. Корені: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$, $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$. Оскільки коефіцієнт при $$x^2$$ додатний, парабола спрямована вгору. Отже, нерівність $$x^2 + x - 6 > 0$$ виконується при $$x < -3$$ або $$x > 2$$. 2. $$x^2 + 2x - 1 < 2$$. Перенесемо все вліво: $$x^2 + 2x - 3 < 0$$. Знайдемо корені квадратного тричлена $$x^2 + 2x - 3 = 0$$. Дискримінант: $$D = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$. Корені: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$, $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$. Оскільки коефіцієнт при $$x^2$$ додатний, парабола спрямована вгору. Отже, нерівність $$x^2 + 2x - 3 < 0$$ виконується при $$x \in (-3; 1)$$. Тепер знайдемо перетин розв'язків обох нерівностей: Перша нерівність: $$(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$$. Друга нерівність: $$(-3; 1)$$. Перетин: $$\emptyset$$. Відповідь: Розв'язків немає.