28 S ΔBOC : S ΔAOD = 1 : 9 BC || AD, x + y = 9,6

Дано: S_ΔBOC : S_ΔAOD = 1 : 9, BC || AD, x + y = 9,6.

Найти: x и y.

Решение: Так как BC || AD, то треугольники BOC и AOD подобны по двум углам. Тогда можем записать отношение для площадей:

$$ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \frac{1}{9} $$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон. Следовательно:

$$ (\frac{BC}{AD})^2 = \frac{1}{9} $$ $$ \frac{BC}{AD} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $$

Значит, AD = 3BC. Также, известно, что x + y = 9,6. По теореме Фалеса, диагонали в трапеции делятся на пропорциональные отрезки:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{3} $$

То есть, OD = 3BO. Также, AO = 3OC. Тогда:

$$ \frac{x}{y} = \frac{BO}{AO} = \frac{1}{3} $$

Таким образом, y = 3x. Подставим это в уравнение x + y = 9,6:

$$ x + 3x = 9,6 $$ $$ 4x = 9,6 $$ $$ x = \frac{9,6}{4} = 2,4 $$

Теперь найдем y:

$$ y = 3 \cdot 2,4 = 7,2 $$

Ответ: x = 2,4, y = 7,2