С–1. 1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF AB = AF. Из вершины A к двум несоседним вершинам проведены равные диагонали, причём ∠BAC = ∠EAF. Докажите, что периметры четырёхугольников ABCE и ACEF равны.

Так как диагонали, проведённые из вершины A к двум несоседним вершинам, равны, имеем \(AC = AE\).

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(AFE\):

• \(AB = AF\) по условию;
• \(AC = AE\) по условию;
• \(\angle BAC = \angle EAF\) по условию.

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(AFE\) равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(BC = EF\).

Периметры четырёхугольников:

\(P_{ABCE} = AB + BC + CE + EA\),

\(P_{ACEF} = AC + CE + EF + FA\).

С учётом равенств \(AB = AF\), \(BC = EF\), \(EA = AC\) получаем:

\(P_{ABCE} = P_{ACEF}\).

Ответ: периметры четырёхугольников ABCE и ACEF равны.