С—2, В—1. 1. На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырёхугольник BEDK — параллелограмм. 2. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.

Question

Вопрос:

Фото задания

С—2, В—1. 1. На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырёхугольник BEDK — параллелограмм. 2. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.

Accepted Answer

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому O — середина AC и BD. Так как E и K лежат на AC и AE = CK, их середина также совпадает с O: точки E и K симметричны относительно O. Следовательно, в четырёхугольнике BEDK диагонали BD и EK пересекаются и делятся пополам в точке O. По признаку параллелограмма BEDK — параллелограмм.
У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне в сумме составляют 180°. Если один угол равен 120°, углы при другом основании равны 60°. Разность оснований равна 14 − 8 = 6 см; проекции боковых сторон на большее основание равны, каждая составляет 6 : 2 = 3 см. В прямоугольном треугольнике с боковой стороной-гипотенузой и углом 60° горизонтальный катет равен половине гипотенузы. Значит, боковая сторона равна 2 · 3 = 6 см.
Ответ: каждая боковая сторона равна 6 см.

Ответ: