С—3. 2. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки A₁ и C₁ соответственно так, что AA₁ = CC₁. Докажите, что ∠BA₁D = ∠BC₁D.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому O — центр симметрии: при центральной симметрии относительно O точка A переходит в C, B — в D.

Точки A₁ и C₁ лежат на продолжениях AC за A и C. По условию AA₁ = CC₁, поэтому при той же симметрии A₁ переходит в C₁: точки расположены по разные стороны от O на одной прямой AC и одинаково удалены от соответствующих вершин.

Центральная симметрия сохраняет величину углов. Она переводит угол BA₁D в угол DC₁B, а ∠DC₁B = ∠BC₁D, поскольку это тот же угол с переставленными лучами.

Следовательно, ∠BA₁D = ∠BC₁D.