С—3, В—2. 1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см. 2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 60°.

1. Обозначим AB = CD = a, AD = BC = b. Биссектриса угла A, пересекая BC, отсекает от B отрезок длиной AB: это следует из равенства углов при параллельных прямых AD ∥ BC и равенства треугольника, образованного биссектрисой.

Аналогично биссектриса угла D отсекает от C отрезок длиной CD = a. Так как обе биссектрисы пересекаются в одной точке M на BC, получаем BM = MC = a, следовательно, BC = 2a, то есть b = 2a.

Периметр: 2(a+b)=36. Подставим b=2a: 6a=36, откуда a=6 см и b=12 см.

2. В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками у боковых сторон. Горизонтальный катет каждого равен (12 − 6)/2 = 3 см. Угол при основании равен 60°, поэтому cos 60° = 3/l, где l — боковая сторона. Так как cos 60° = 1/2, получаем l = 6 см.

Ответ: 1) стороны 6 см и 12 см; 2) боковая сторона равна 6 см.