С—4. 1. В трапеции ABCD BC — меньшее основание. На отрезке AD взята точка E так, что BE ∥ CD; ∠ABE = 70°, ∠BEA = 50°. Найдите углы трапеции. 2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее основание.

1. В треугольнике ABE сумма углов даёт ∠BAE = 180° − 70° − 50° = 60°. Так как E лежит на AD, ∠A трапеции равен 60°. Поскольку BE ∥ CD, углы между BA и BE и между BA и CD равны как соответствующие углы при секущей AB; следовательно, внутренний угол при B трапеции равен 180° − 70° = 110°. Также AD ∥ BC, поэтому односторонние внутренние углы на боковой стороне CD в сумме дают 180°: ∠D = 180° − ∠C. Из параллельности BE и CD и секущей AD следует ∠BED + ∠D = 180°. Но ∠BED = 180° − ∠BEA = 130°, откуда ∠D = 50°, а ∠C = 130°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 110°, ∠C = 130°, ∠D = 50°.

2. Меньшее основание равно 10 см, а меньшая боковая сторона в прямоугольной трапеции — перпендикулярная основанию высота; значит, высота также равна 10 см. Разность оснований образует с высотой прямоугольный треугольник. Острый угол равен 45°, поэтому катеты этого треугольника равны: разность оснований равна 10 см. Следовательно, большее основание равно 10 + 10 = 20 см.

Ответ: 20 см.