С—6, 2. В параллелограмме ABCD с острым углом A диагонали пересекаются в точке O. На отрезках AO и OC взяты точки P и K соответственно, OP = OD, OK = OB. Докажите, что четырёхугольник PBKD является прямоугольником.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OC и OB = OD.

1. Точки P и A лежат на одном луче из O, а OP = OD = OB. Точки B и K лежат на одном луче из O, причём OK = OB. Следовательно, OP = OK = OB = OD.
2. Угол POK равен углу AOB, а угол BOD — вертикальный ему, поэтому ∠POK = ∠BOD.
3. В треугольниках POK и BOD равны две соответствующие стороны и угол между ними. Значит, треугольники равны, откуда PK = BD.
4. Кроме того, PB и KD — противоположные стороны четырёхугольника PBKD. Из равенства соответствующих треугольников и коллинеарности A, P, O, C следует, что PB ∥ KD. Аналогично PK ∥ BD. Значит, PBKD — параллелограмм.
5. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Поскольку PK = BD, четырёхугольник PBKD — прямоугольник.