С—7, 2. На рисунке 8 четырёхугольник ABCD — прямоугольник, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8. Докажите, что выпуклый четырёхугольник MKHN является квадратом.

Обозначение на фото в последнем утверждении читается как «MKHN», однако на рисунке вершины внешнего четырёхугольника подписаны M, K, H и P. Принимаем, что имеется в виду четырёхугольник MKHP.

1. В каждой вершине прямоугольника ABCD внешний угол прямого угла разделён соответствующим лучом стороны внешнего четырёхугольника на два угла. Условие ∠1 = ∠2 означает, что луч BM является биссектрисой угла между вертикальной и горизонтальной прямыми. Аналогично равенства ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6 и ∠7 = ∠8 показывают, что стороны внешнего четырёхугольника делят углы при C, D и A пополам.
2. Угол между соседними сторонами внешнего четырёхугольника, например при B, равен 90°: эти стороны лежат по разные стороны двух перпендикулярных прямых и образуют с ними равные углы. То же верно при C, D и A. Поэтому все углы MKHP прямые.
3. Значит, MKHP — прямоугольник. Каждая его сторона является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными сторонам прямоугольника ABCD. Такие гипотенузы равны, поэтому все четыре стороны MKHP равны.

Прямоугольник с равными сторонами является квадратом. Следовательно, MKHP — квадрат.