С—7, 1. В ромбе MPKH с тупым углом K диагонали пересекаются в точке E. Один из углов треугольника PKE равен 16°30′. Найдите остальные углы этого треугольника и угол PMH.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. Поэтому ∠PEK = 90°. Поскольку угол K ромба тупой, его половина ∠PKE тупая? Нет: половина тупого угла лежит между 45° и 90°, следовательно, она острая. Угол при P также является половиной острого угла ромба.

Даны два возможных прочтения условия «один из углов треугольника PKE равен 16°30′»:

• Если это острый угол при P, то ∠PKE = 180° − 90° − 16°30′ = 73°30′. Угол ромба при M смежен с тупым углом K, поэтому он равен 180° − 2·73°30′ = 33°. Следовательно, ∠PMH = 33°.
• Если это угол при K, то он должен быть половиной тупого угла K, а значит, быть больше 45°. Значение 16°30′ этому противоречит.

Ответ: ∠PEK = 90°, ∠PKE = 73°30′, ∠KPE = 16°30′; ∠PMH = 33°.