С-9. Построение графика квадратичной функции. 2. Используя результаты вычислений в задании 1а, постройте график функции f(x) = x² − 6x + 4. Найдите: а) нули функции; промежутки, в которых f(x) < 0 и f(x) > 0; б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее значение функции.

Приведём функцию к виду с выделенным квадратом: f(x) = x² − 6x + 4 = (x − 3)² − 5. Значит, парабола направлена вверх, вершина — (3, −5), ось симметрии — x = 3.

а) Нули находим из уравнения (x − 3)² − 5 = 0: (x − 3)² = 5, поэтому x = 3 − √5 или x = 3 + √5. Поскольку парабола направлена вверх, функция отрицательна между корнями и положительна вне их.

Следовательно, f(x) < 0 при 3 − √5 < x < 3 + √5; f(x) > 0 при x < 3 − √5 или x > 3 + √5.

б) До вершины при x = 3 функция убывает, после вершины возрастает. Наименьшее значение достигается в вершине: f(3) = −5.

Ответ: нули — 3 − √5 и 3 + √5; f(x) < 0 на (3 − √5, 3 + √5), f(x) > 0 на (−∞, 3 − √5) ∪ (3 + √5, +∞); убывает на (−∞, 3], возрастает на [3, +∞); минимум равен −5.